Không dùng máy tính hãy tính $sin18^{\circ}$

Đáp án:

$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}.$

Giải thích các bước giải:

$\cos 36^\circ = \sin (90-36^\circ)\\ \Leftrightarrow \cos 36^\circ = \sin 54^\circ\\ \Leftrightarrow \cos (2.18^\circ) = \sin (3.18^\circ)\\ \Leftrightarrow 1-2\sin^218^\circ = 3\sin 18^\circ - 4 \sin^3 18^\circ\\ \Leftrightarrow 4 \sin^3 18^\circ  -2\sin^218^\circ-3\sin 18^\circ +1= 0$

Đặt $t=\sin 18^\circ, t \in (0;1)$ ta có:

$4t^3  -2t^2-3t+1=0\\ \Leftrightarrow 4t^3  -4t^2+2t^2-2t-t+1=0\\ \Leftrightarrow 4t^2(t-1)+2t(t-1)-(t-1)=0\\ \Leftrightarrow (t-1)(4t^2+2t-1)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} t=1 (L) \\ t=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4} \\ t=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4} (L)\end{array} \right.$

Vậy $t=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ hay $\sin 18^\circ=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}.$