Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 42^o$

$\Rightarrow \widehat{C} = 90^o - \widehat{B} = 48^o$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$\cos B = \dfrac{AB}{BC}$
$\Rightarrow \cos 42^o = \dfrac{3}{BC}$

$\Leftrightarrow BC = \dfrac{3}{\cos 42^o} \approx 4,037(cm)$

Mặt khác, xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow 3^2 +  AC^2 = \bigg(\dfrac{3}{\cos 42^o}\bigg)^2$

$\Leftrightarrow 9 + AC^2 = \dfrac{9}{(\cos 42^o)^2}$
$\Leftrightarrow AC^2 = \dfrac{9 - 9(\cos 42^o)^2}{(\cos 42^o)^2}$

$\Leftrightarrow AC = \sqrt{\dfrac{9 - 9(\cos 42^o)^2}{(\cos 42^o)^2}} \approx 2,701(cm)$

b) Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 30^o$

$\Rightarrow \widehat{B} = 90^o - \widehat{C} = 60^o$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$\cos C = \dfrac{AC}{BC}$

$\Rightarrow \cos 30^o = \dfrac{10}{BC}$

$\Leftrightarrow BC = \dfrac{10}{\cos 30^o} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11,547(cm)$

Mặt khác, xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow AB^2 + 10^2 = \bigg(\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\bigg)^2$

$\Leftrightarrow AB^2 + 100 = \dfrac{400}{3}$
$\Leftrightarrow AB^2 = \dfrac{100}{3}$
$\Leftrightarrow AB = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5,774(cm)$

c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$
$\Rightarrow 3^2 + 5^2 = BC^2$

$\Leftrightarrow BC^2 = 34$

$\Leftrightarrow BC = \sqrt{34} \approx 5,831(cm)$
Mặt khác, xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\sin B = \dfrac{AC}{BC}$

$\Rightarrow \sin B = \dfrac{3}{\sqrt{34}} = \dfrac{3\sqrt{34}}{34}$

$\Leftrightarrow \widehat{B} \approx 30,964^o$

$\Rightarrow \widehat{C} = 90^o - \widehat{B} \approx 59,036^o$