Giải thích các bước giải:

Ta có:

$f(x)$ chia $(x+1)(x-2)$ được thương là $5x^2-1$ và còn dư

$\to f(x)=(x+1)(x-2)(5x^2-1)+R(x)$

Khi chia cho $(x+1)(x-2)$ (bậc $2$) ta được đa thức dư có bậc lớn nhất là $1\to R(x)=ax+b$

$\to f(x)=(x+1)(x-2)(5x^2-1)+ax+b$

Ta có: $f(x)$ chia $x+1$ dư $2$ và chia $x-2$ dư $5$

$\to f(x)-2$ chia hết cho $x+1$ và $f(x)-5$ chia hết cho $x-2$

$\to ax+b-2$ chia hết $x+1$ và $ax+b-5$ chia hết $x-2$

$\to \begin{cases}\dfrac{a}1=\dfrac{b-2}1\\ \dfrac{a}1=\dfrac{b-5}{-2}\end{cases}$

$\to \begin{cases}a=b-2\\ b-1=\dfrac{b-5}{-2}\end{cases}$

$\to \begin{cases}a=1\\ b=3\end{cases}$

$\to f(x)=(x+1)(x-2)(5x^2-1)+x+3$

$\to f(4)=(4+1)(4-2)(5\cdot 4^2-1)+4+3$

$\to f(4)=797$