a.

`A = ({x+2}/{x \sqrt{x} - 1} + {\sqrt{x}}/{x + \sqrt{x} +1} + 1/{1 - \sqrt{x}\}) : {\sqrt{x} +2}/{x + \sqrt{x} +1}`

Với `x >= 0; x \ne 1` ta có:

`A = [{x+2}/{(\sqrt{x})^3 - 1} + {\sqrt{x}}/{x + \sqrt{x} +1} - 1/{ \sqrt{x} - 1}] : {\sqrt{x} +2}/{x + \sqrt{x} +1}`

`= [{x+2}/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)} + {\sqrt{x}}/{x + \sqrt{x} +1} - 1/{ \sqrt{x} - 1}] : {\sqrt{x} +2}/{x + \sqrt{x} +1}`

`= [{x+2}/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)} + {\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)} - (x + \sqrt{x} +1)/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)}] : {\sqrt{x} +2}/{x + \sqrt{x} +1}`

`= {x+2 + \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) - (x + \sqrt{x} +1)}/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)} : {\sqrt{x} +2}/{x + \sqrt{x} +1}`

`= {x+2 + x - \sqrt{x} - x - \sqrt{x} -1}/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)} : {\sqrt{x} +2}/{x + \sqrt{x} +1}`

`= {x- 2\sqrt{x}+1 }/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)} : {\sqrt{x} +2}/{x + \sqrt{x} +1}`

`= {(\sqrt{x}- 1)^2}/{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} +1)} . {x + \sqrt{x} +1}/{\sqrt{x} +2}`

`= {\sqrt{x}- 1}/{\sqrt{x} +2}`

Vậy, với `x >= 0; x \ne 1` thì `A = {\sqrt{x}- 1}/{\sqrt{x} +2}`

$\\$

b.

Để `A <= 0` thì `{\sqrt{x}- 1}/{\sqrt{x} +2} <= 0`

Mà ` \sqrt{x} >= 0` nên ` \sqrt{x} + 2 > 0`

`=>` Để `{\sqrt{x}- 1}/{\sqrt{x} +2} <= 0` thì ` \sqrt{x} - 1 <= 0`

`<=>` ` \sqrt{x} <= 1`

`<=>` `x <= 1`

Kết hợp điều kiện `x >= 0; x \ne 1`, ta có : ` 0 <= x < 1`

$\\$

c.

`{\sqrt{x}- 1}/{\sqrt{x} +2} = {\sqrt{x} +2 -3}/{\sqrt{x} +2} = 1 -3/{\sqrt{x} +2}`

Ta có: `\sqrt{x} +2 >= 2`

`=>` `3/{\sqrt{x} +2} <= 3/2`

$\\$

Ta có `1 -3/{\sqrt{x} +2} min` khi và chỉ khi `3/{\sqrt{x} +2} = 3/2`

$\\$

Vậy, GTNN của `A` là `1 - 3/2 = -1/2` khi ` \sqrt{x} + 2 = 2`

`<=>` ` \sqrt{x} = 0`

`<=>` `x = 0(tm)`