Đáp án:

`color{#00E4FF}{@ }color{#00E4FF}text{Cách 1:}`

Gọi `O` là tâm hình vuông `ABCD`

       `M` là trung điểm `SA`

`=>OM` là đường trung bình `Delta SAC`

`=>SC////OM sub (MBD)`

`=>SC////(MBD)`

`=>d(SC,BD)=d(SC,(MBD))=d(C,(MBD))` 

Mà `d(C,(MBD))=d(A,(MBD))` (vì `(OC)/(OA)=1`)

`=>d(SC,BD)=d(A,(MBD))`

`@` Kẻ `AE bot OM` tại `E` (1)

`@` Ta có:

`{:(BD bot SA " (vì "SA bot (ABCD) sup BD")"),(BD bot AC " (vì ABCD là hv)"):}}`

`=>BD bot (SAC) sup AE`

`=>AE bot BD` (2)

`@`(1)(2)`=>d(SC,BD)=AE`

 `@SA bot (ABCD)`

`=>AB ` là hình chiếu của `SB` trên `(ABCD)`

Mà `AB bot BC` (3)

`=>SB bot BC` (4) (định lý 3 đường vuông góc)

`@` Lại có: `SB nn AB=B in BC` (5)

`@`(3)(4)(5)`=>[S,BC,A]=hat(SBA)=60^o`

`@Delta SBA` vuông tại `A:`

`tan hat(SBA)=tan60^o=(SA)/(AB)=(SA)/(a)`

`=>SA=a sqrt3`

`=>AM=(a sqrt3)/2`

`@ABCD` là hình vuông`=>OA=(AC)/2=(a sqrt2)/2`

`@Delta MAO` vuông tại `A` có `AE` là đường cao:

`AE=(AM.OA)/sqrt(AM^2+OA^2)=((a sqrt3)/2. (a sqrt2)/2 )/sqrt((3a^2)/4+a^2/2)=(a sqrt30)/10`

`=>d(SC,BD)=(a sqrt30)/10`

`=>n=10`

`color{#00E4FF}{@ }color{#00E4FF}text{Cách 2:}`

 Gọi `O` là tâm hình vuông `ABCD`

 `@SA bot (ABCD)`

`=>AB ` là hình chiếu của `SB` trên `(ABCD)`

Mà `AB bot BC` (1)

`=>SB bot BC` (2) (định lý 3 đường vuông góc)

`@` Lại có: `SB nn AB=B in BC` (3)

`@`(1)(2)(3)`=>[S,BC,A]=hat(SBA)=60^o`

`@Delta SBA` vuông tại `A:`

`tan hat(SBA)=tan60^o=(SA)/(AB)=(SA)/(a)`

`=>SA=a sqrt3`

`@` Kẻ `OH bot SC` tại `H` (4)

`@` Ta có:

`{:(BD bot SA " (vì "SA bot (ABCD) sup BD")"),(BD bot AC " (vì ABCD là hv)"):}}`

`=>BD bot (SAC) sup OH`

`=>OH bot BD` (5)

`@`(4)(5)`=>d(SC,BD)=OH`

/tính `OC=(a sqrt2)/2` và `SC=a sqrt5`/

`@Delta SAC ` $\backsim$ `Delta OHC ` (g.g)

`=>(SA)/(OH)=(SC)/(OC)` hay `(a sqrt3)/(OH)=(a sqrt5)/((a sqrt2)/2)`

`=>OH=(a sqrt30)/10`

`=>d(SC,BD)=(a sqrt30)/10`

`=>n=10`