bạn paldisric giúp mình giải với ạ
Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
Ta có bổ đề : Xét tam giác `XYZ` . Chứng minh `S_(XYZ)=(XY.XZ.sinX)/(2)`
Xét `\triangleXYZ` có đường cao `YT` `=>sin\hat{YXZ}=(YT)/(XY)`
`=>S_(XYZ)=(YT.XZ)/(2)=(XZ.sin\hat{YXZ}.XY)/(2)` (đpcm)
Trở lại bài toán :
Không mất tính tổng quát, giả sử `OM <= ON`
Qua `O` kẻ `HK` vuông góc với `OA` ( `H\inAB ; K\in AC` )
Xét `\triangleAHK` có `AO` là phân giác `\hat{HAK},AO\botHK`
`=>``\triangleAHK` cân tại `A`
`=>` `AO` là trung tuyến `\triangleAHK`
`=>OH=OK`
Áp dụng bổ đề trên, ta có:$\begin{cases} S_{OMH}=\dfrac{OM.OH.sin\widehat{MOH}}{2}\\S_{ONK}=\dfrac{ON.OK.sin\widehat{NOK}}{2} \end{cases}$
Do `OM<=ON ; OH=OK ; \hat{MOH}=\hat{NOK}` ( 2 góc đối đỉnh )
`=>` `S_(OMH)<=S_(ONK)`
`=>S_(AMN)=S_(AMOK)+S_(ONK)>=S_(AMOK)+S_(OMH)=S_(AHK)`
Gọi `E,I` là tiếp điểm của `(O)` với `AB,AC` `=>` `OI\botAK`
Áp dụng hệ thức lượng vào `\triangleAOK` vuông tại `O`, đường cao `OI` ta có:
`AO^2=AK.AI`
`=>AK=(AO)^2 /(AI)`
Áp dụng định lý Pytago vào `\triangleAOI` vuông tại `I` :
`=>` `AI^2 +OI^2=AO^2`
`=>AI=\sqrt{AO^2-OI^2}`
`=>` `AK=(AO^2 ) /(\sqrt{AO^2-OI^2})=(AO^2)/(\sqrt{AO^2 -1})`
Đặt `\sqrt{AO^2 -1}=t` `(t>0)` `=>AO^2 = t^2+1`
`=>AK=(t^2+1)/(t)=t=1/t>=2` ( BĐT Cauchy cho 2 số dương )
Dấu "=" xảy ra `<=>t=1` `<=>AO^2=2` `<=>AO=\sqrt{2}`
Xét `\triangleAOI` vuông `I` : `AO=\sqrt{2}` ; `OI=1` ; `sin\hat{OAI}=(OI)/(AO)=1/(\sqrt{2})`
`=>\hat{OAI}=45^o` `=>\hat{BAC}=90^o`
Ta có : `S_(AMN)>=S_(AHK) =2S_(AOK)=2.(OI>AK)/(2)>=2` ( vì `AK>=2` )
Dấu "=" xảy ra `<=>` `\triangleABC` vuông `A`
Vậy Min `S_(AMN)=2cm^2 <=>\triangleABC` vuông `A` và `MN\bot AO`
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin