Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

b.Từ a $\to \widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{NCB}=\widehat{NMB}$

$\to EF//MN$

Mà $\widehat{ACN}=\widehat{ECF}=\widehat{FBE}=\widehat{ABM}$
$\to AN=AM$

$\to OA\perp MN$

$\to OA\perp EF$

c.Gọi $AK$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^o$

$\to BH//CK, CH//BK\to BHCK$ là hình bình hành

$\to HK\cap BC=D$ là trung điểm mỗi đường

$\to OD$ là đường trung bình $\Delta AHK$

$\to AH=2OD$ không đổi

Ta có: $\Delta AEH\sim\Delta ABK(g.g)$

$\to \dfrac{S_{AEH}}{S_{ABK}}=\dfrac{AH^2}{AK^2}=\dfrac{4OD^2}{(2R)^2}=\dfrac{OD^2}{R^2}$ không đổi

$\to$Để $S_{AEH}$ lớn nhất

$\to S_{ABK}$ lớn nhất

Mà $S_{ABK}=\dfrac12AB.BK\le\dfrac14(AB^2+BK^2)=\dfrac14AK^2$ không đổi
$\to$Dấu = xảy ra khi $AB=BK\to \Delta ABK$ vuông cân tại $B$

$\to \widehat{BAO}=45^o$