Đáp án:`x=1/2.`

Giải thích các bước giải:

 `54x^2+35x-4=12(2x-1)\sqrt{4x^2+x}+4(25x+1)\sqrt{x-x^2}`

`DKXD:{(4x^2+x>=0),(x-x^2>=0):}<=>0<=x<=1`

`pt<=>54x^2+35x-4=12(2x-1)\sqrt{4x^2+x}+(100x-50)\sqrt{x-x^2}+54\sqrt{x-x^2}`

`<=>54x^2+35x-4-54\sqrt{x-x^2}=12(2x-1)\sqrt{4x^2+x}+50(2x-1)\sqrt{x-x^2}`

`<=>54x^2+35x-31-27(2\sqrt{x-x^2}-1)=12(2x-1)\sqrt{4x^2+x}+50(2x-1)\sqrt{x-x^2}`

`<=>(2x-1)(27x+31)+(27(4x^2-4x+1))/(2\sqrt{x-x^2}+1)=12(2x-1)\sqrt{4x^2+x}+50(2x-1)\sqrt{x-x^2}`

`<=>(2x-1)(27x+31+(27(2x-1))/(2\sqrt{x-x^2}+1)-12\sqrt{4x^2+x}-50\sqrt{x-x^2})=0`

Ta thấy `x=1/2` là 1 nghiệm của phương trình.

Xét `f(x)=27x+31+(27(2x-1))/(2\sqrt{x-x^2}+1)-12\sqrt{4x^2+x}-50\sqrt{x-x^2}` trên `[0,1]`

`f'(x)=27+(54(2\sqrt{x-x^2}+1)-(2.(54x-2).(1-2x))/(2\sqrt{x-x^2}))/(2\sqrt{x-x^2}+1)^2-(12.(8x+1))/(2\sqrt{4x^2+x})-(50(1-2x))/(2\sqrt{x-x^2})`

`f'(x)=0<=>x=0,2648373992`

Từ BBT ta thấy `min_f(x)=f(0,2648373992)`

`=>f(x)>=f(0,2648373992)>0`

`=>pt` này vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất `x=1/2.`