Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{APM}=\widehat{AQM}=90^o$

$\to APMQ$ nội tiếp đường tròn đường kính $AM$

b.Xét $\Delta ADB,\Delta ADC$ có:

$\widehat{DAB}=\widehat{CAE}$

$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AEC}$

$\to \Delta ADB\sim\Delta ACE(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AE}$

$\to AD.AE=AB.AC$

Xét $\Delta DAB,\Delta DCE$ có:

$\widehat{DAB}=\widehat{DCE}$

$\widehat{ADB}=\widehat{CDE}$

$\to \Delta ADB\sim\Delta CDE(g.g)$

$\to \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}$

$\to DA.DE=DB.DC$

$\to AE.AD-DB.DC=AE.AD-AD.DE=AD.(AE-DE)=AD.AD=AD^2$

c.Vì $AE$ là phân giác $\widehat{BAC}\to E$ nằm chính giữa cung $BC$

$\to OE\perp BC=I$ là trung điểm $BC$


Mà $EI\cap (O)=F$

$\to EF$ là đường kính của $(O)$

Gọi $AI\cap PQ=K, AM\perp PQ=J, IH\perp FA=G$

Ta có: $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}, MP\perp AB, MQ\perp AC$

$\to MP=MQ, AP=AQ$

$\to AM\perp PQ=J$ là trung điểm $PQ$

Vì $\widehat{FAE}=90^o\to FA\perp AE\to JH\perp PQ\to JH//AE\to JH\perp AF$

$\to AGHJ$ là hình chữ nhật

$\to HG=AJ$

Kẻ $EL\perp AC$

$\to \widehat{EIC}=\widehat{ELC}(=90^o)$

$\to EILC$ nội tiếp
$\to \widehat{ALI}=\widehat{IEC}=\dfrac12\widehat{BEC}=\dfrac12(180^o-\widehat{BAC})=90^o-\dfrac12\widehat{BAC}=\widehat{AQP}$

$\to PQ//IL$

Lại có: $MQ//EL(\perp AC)$

$\to \dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AQ}{AL}=\dfrac{AK}{AI}$

$\to KM//EI$

Mà $PQ//AF$

$\to \dfrac{HG}{HI}=\dfrac{KA}{KI}=\dfrac{AM}{AE}$

$\to \dfrac{GH}{GH+HI}=\dfrac{AM}{AM+AE}$

$\to \dfrac{GH}{GI}=\dfrac{AM}{AE}$

$\to \dfrac{GH}{AM}=\dfrac{GI}{AE}=\dfrac{FG}{FA}$

Mà $\widehat{FGH}=\widehat{FAM}$

$\to \Delta FGH\sim\Delta FAM(c.g.c)$

$\to \widehat{GFH}=\widehat{AFM}$

$\to F, H, M$ thẳng hàng