Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AMD,\Delta AMI$ có:

Chung $AM$

$\widehat{AMD}=\widehat{AMI}(=90^o)$

$MD=MI$

$\to \Delta AMD=\Delta AMI(c.g.c)$

b.Xét $\Delta AND,\Delta ANK$ có:

Chung $AN$

$\widehat{AND}=\widehat{ANK}(=90^o)$

$ND=NK$

$\to \Delta AND=\Delta ANK(c.g.c)$

c.Từ a $\to \widehat{MAD}=\widehat{MAI}\to AB$ là phân giác $\widehat{MAI}$

         b $\to \widehat{NAD}=\widehat{NAK}\to AC$ là phân giác $\widehat{DAK}$

$\to \widehat{IAK}=\widehat{IAD}+\widehat{DAK}=2\widehat{BAD}+2\widehat{CAD}=2\widehat{BAC}=180^o$

$\to A, I, K$ thẳng hàng

d.Từ a $\to AI=AD$

          b $\to AD=AK$

$\to AI=AK$

Mà $A, I,K$ thẳng hàng

$\to A$ là trung điểm $IK$

e.Nếu $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to \widehat{DAB}=\widehat{DAC}=\dfrac12\hat A=45^o$

$\to \Delta AMD,\Delta ADN$ vuông cân tại $M, N$

$\to \widehat{ADM}=\widehat{ADN}=45^o$

$\to \hat I=\widehat{ADM}=45^o,\widehat{AKN}=\widehat{AND}=45^o$

$\to \Delta ADI,\Delta ADK$ vuông cân tại $A$

$\to AD\perp AI$

$\to AD\perp IK$