Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\Delta QMC$ vuông tại $M, S$ là trung điểm $CQ$

$\to SM=SC=SQ=\dfrac12CQ$

$\to \Delta SMC$ cân tại $S$

$\to \widehat{SMC}=\hat C=\hat B$

$\to MS//AB$

2.Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A, AH\perp BC\to AH$ là phân giác $\hat A$

Tương tự câu 1 chứng minh được $MR//AC$

$\to \widehat{RIA}=\widehat{IAC}=\widehat{IAB}$

$\to \Delta RAI$ cân tại $R$

$\to RA=RI$

Ta có: $SM//AB, MR//AC\to SM=AR, RM=SA$ (tính chất đoạn chắn)

Xét $\Delta RIB,\Delta RMS$ có:

$RI=MS(=RA)$

$\widehat{IRB}=\widehat{RMS}$ vì $MS//AB$

$RB=RM$

$\to \Delta BRI=\Delta RMS(c.g.c)$

$\to RI=RS$

3a.Kẻ $AD\perp QP$

Ta có: $PM//AH(\perp BC)\to \widehat{APQ}=\widehat{BAH}=\widehat{HAC}=\hat Q$

$\to \Delta APQ$ cân tại $A$

$\to D$ là trung điểm $PQ$

Vì $AD//MH(\perp MD), MD//AH(\perp BC)$

$\to AD=MH, MD=AH$ (tính chất đoạn chắn)

$\to MP+MQ=(MD-DP)+(MD+DQ)=2MD+(DQ-DP)=2MD=2AH$ không đổi