Giải thích các bước giải:

a.Vì $CD$ là đường kính của $(O)\to \widehat{CED}=90^o$

$\to \widehat{IED}=\widehat{IOD}=90^o$

$\to OIED$ nội tiếp đường tròn đường kính $ID$

b.Xét $\Delta AOH,\Delta AQB$ có:
Chung $\hat A$

$\hat O=\hat E(=90^o)$

$\to \Delta AOH\sim\Delta AEB(g.g)$

$\to \dfrac{AO}{AE}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH.AE=AO.AB=2R^2$

Vì $AB\perp CD\to C$ nằm chính giữa cung $AB$

$\to CA=CB$

$\to \widehat{CEA}=\widehat{CEB}$

$\to EI$ là phân giác $\widehat{AEB}$

Ta có: $AI=AO+OI=\dfrac32R, IB=\dfrac12R$

$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{IA}{IB}=3$

$\to EA=3EB$

Mà $EA^2+EB^2=AB^2=4R^2$

$\to 10EB^2=4R^2$

$\to EB^2=\dfrac25R^2$

$\to EB=\dfrac{\sqrt{10}}5R$

$\to EA=\dfrac{3\sqrt{10}}5R$

Do $\Delta AOH\sim\Delta AEB$

$\to \dfrac{OH}{EB}=\dfrac{AO}{AE}$

$\to OH=\dfrac{AO}{AE}\cdot EB$

$\to OH=\dfrac{R}{\dfrac{3\sqrt{10}}5R}\cdot  \dfrac{\sqrt{10}}5R=\dfrac13R=\dfrac13OA$

c.Ta có: $H\in DO$ là trung tuyến $\Delta ADB$

               $OH=\dfrac13R=\dfrac13OD$

$\to H$ là trọng tâm $\Delta ABD$

Vì $OK\perp DB\to K$ là trung điểm $BD$

$\to A, H, K$ thẳng hàng

$\to AK\perp BQ$ vì $AE\perp BQ$

Mà $BD\perp DA\to BD\perp AQ, BD\cap AE=K$

$\to K$ là trực tâm $\Delta ABQ\to QK\perp AB$

Ta có: $OK\perp KB, KO=KB=KD=\dfrac12BD\to \Delta OBK$ vuông cân tại $K\to KI\perp OB$

$\to Q, K, I$ thẳng hàng