Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A, AH\perp BC\to H$ là trung điểm $BC$

$\to \Delta HAB,\Delta HAC$ vuông cân tại $H$

$\to HA=HB=HC$

$\to AD=2BC=2AH$

Lại có: $H$ là trung điểm $BC$

$\to A$ là trọng tâm $\Delta DBC$

b.Vì $A$ là trọng tâm $\Delta DBC$ và $F$ là trung điểm $BD$

$\to C, A, F$ thẳng hàng

$\to \widehat{FAD}=\widehat{HAC}=45^o=\widehat{BCE}$

Mà $AD=BC, CE=\dfrac12AC=AF$

$\to \Delta AFD=\Delta CEB(c.g.c)$

c.Gọi $BE\cap CD=K, AB\cap CD=G$

Vì $A$ là trọng tâm $\Delta DBC\to G$ là trung điểm $CD$

Xét $\Delta AFB,\Delta AGC$ có:

$AF=\dfrac12AC=\dfrac12AB=AG$

$\widehat{FAB}=\widehat{GAC}$

$AB=AC$

$\to \Delta ABF=\Delta ACG(c.g.c)$

$\to \widehat{AGC}=\widehat{AFB}$
Xét $\Delta BAE,\Delta BAF$ có:

Chung $AB$

$\widehat{BAF}=\widehat{ABE}(=90^o)$

$AF=AE$

$\to \Delta ABF=\Delta ABE(c.g.c)$

$\to \widehat{BEA}=\widehat{BFA}=\widehat{AGC}$

$\to \widehat{BEA}=\widehat{BGK}$

$\to \widehat{GKB}=180^o-\widehat{BGK}-\widehat{GBK}=180^o-\widehat{AEB}-\widehat{ABE}=\widehat{BAE}=90^o$

$\to BK\perp DC$

$\to BE\perp CD$

$\to \widehat{BAE}=\widehat{CAG}$

Mà $AB=AC$

$\widehat{ABE}=90^o-\widehat{AEB}=90^o-\widehat{KEC}=\widehat{ECK}=\widehat{ACG}$

$\to \Delta ABE=\Delta ACG(g.c.g)$

$\to S_{ABE}=S_{ACG}, BE=CG$

Gọi $AI\perp BE, AJ\perp CG$

$\to \dfrac12AI.BE=\dfrac12AJ.CG$

$\to AI=AJ$

Mà $AJ\perp KG, AI\perp KB$

$\to KA$ là phân giác $\widehat{GKB}$

$\to \widehat{AKD}=\dfrac12\widehat{DKB}=45^o$