a) Ta có: D,E lần lượt là trung điểm của AB, AC

⇒ DE là đường trung bình

⇒ DE//BC

⇒ DE = $\frac{1}{2}$ BC

Hay BC = 2DE

b) Xét ΔADE và ΔABC, ta có:

· ∠A góc chung

· ∠ADE = ∠ABC (DE//BC, đồng vị)

⇒ ΔADE $\backsim$ ΔABC (g.g)

⇒ $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AI}{AE}$ = $\frac{1}{2}$ (D là trung điểm AB)

⇒ AI = IF 

Mà DI = EI (AI là đường trung tuyến ΔADE)

      DE, AF là đường chéo của tứ giác AEFD

⇒ AEFD là hình bình hành (1)

Ta có: DE = $\frac{1}{2}$ BC (cmt)

          AF = $\frac{1}{2}$ BC (AF là đường trung tuyến ΔABC vuông tại A)

⇒ DE = AF (2)

Từ (1), (2) ⇒ AEFD là hình chữ nhật

c) Ta có: D là trung điểm AB (gt)

⇒ DA = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$ . 6 = 3 (cm)

Tương tự: E là trung điểm AC (gt) 

⇒ AE = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{2}$ . 8 = 4 (cm)

Vì AEFD là hình chữ nhật (cmt) nên AE = DF = 4 cm

Vì ΔADF vuông tại D nên theo định lý Pythagore, ta được:

AF² = AD² + DF²

AF² = 3² + 4²

AF² = 25

AF = $\sqrt{25}$ = 5 (cm)

Ta có: AI = $\frac{1}{2}$ AF (cmt)

          AI = $\frac{1}{2}$ . 5 = $\frac{5}{2}$ (cm)

Xét ΔABC, có:

· AF là đường trung tuyến (gt)

· BE là đường trung tuyến (E là trung điểm AC)

Mà AF, BE cắt nhau tại K

⇒ K là trọng tâm ΔABC

⇒ KF = $\frac{1}{3}$ AF

    KF = $\frac{1}{3}$ . 5 = $\frac{5}{3}$ (cm)

Ta có: AF = AI + IK + KF

⇒ IK = AF - AI - KF

     IK = 5 - $\frac{5}{2}$ - $\frac{5}{3}$ = $\frac{5}{6}$ (cm)

*Chúc bạn học tốt.