Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y = 2/3x^3 - (2m + 9)x^2 + 2(m^2 + 9m)x + 10 nghịch biến trên khoảng (3; 6)?

Đáp án:

 $3$

Giải thích các bước giải:

$y=\dfrac 23x^3-(2m+9)x^2+2(m^2+9m)x+10$

$\Rightarrow  y'=\left(\dfrac 23x^3-(2m+9)x^2+2(m^2+9m)x+10\right)'$

$\Rightarrow y'=2x^2+2(m^2+9m)-2(2m+9)x$

Để $y'=0\to$\(\left[ \begin{array}{l}x=m\\x=m+9\end{array} \right.\) 

$\to$Hàm số nghịch biến trên khoảng$(m;m+9)$

$\to$Để hàm số $y$ nghịch biến trên khoảng $(3;6)$

$\Rightarrow  (3;6)⊂(m;m+9)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
m\leqslant 3 & \\ 
m+9\geqslant 6 &
\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow  \left\{\begin{matrix} m\leqslant 3 & \\ m\geqslant -3& \end{matrix}\right.\)

Vì $m$ nguyên dương 

$\Rightarrow m\in\{1;2;3\}$

$\to$Có 3 giá trị $m$ nguyên dương thoả mãn đề bài.