Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc BAD =60' ,SA=a ,và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mp(SCD)?

Đáp án:

$d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Giải thích các bước giải:

Kẻ $AE\bot CD=E; AH\bot SE=H$

Ta có:

$d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\left( {AB//CD} \right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AE \bot CD\\
SA \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow CD \bot AH\\
\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot SE\\
AH \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)
\end{array}$

$\to H$ là hình chiếu của A trên (SCD) 

$ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ADE;\widehat {AED} = {90^0};\widehat {ADE} = \widehat {BAD} = {60^0};AD = a\\
 \Rightarrow AE = AD.\sin \widehat {ADE} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta SAE;\widehat {SAE} = {90^0};SA = a;AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}
\end{array}$

$ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Vậy $d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$