Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to\widehat{AMB}=90^o$

         $EK\perp AB$

$\to \widehat{EKA}=\widehat{EMA}=90^o$

$\to AMEK$ nội tiêp đường tròn đường kính $AE$

b.Gọi $BC\cap AP=C$

Từ a $\to \widehat{KMA}=\widehat{KEA}=90^o-\widehat{EAK}=90^o-\widehat{NAB}=\widehat{NBA}$

Vì $OA\perp MN\to OA$ là trung trực $MN$

$\to AM=AN$

$\to \widehat{ABN}=\widehat{ABM}$

$\to \widehat{KMA}=\widehat{ABM}$

$\to KM$ là  tiếp tuyến của $(O)$

$\to PM,PA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OP\perp AM$

$\to OP//CB$

Mà $O$ là trung điểm $AB$

$\to P$ là trung điểm $AC$

Ta có: $MI//AC(\perp AB)$

$\to \dfrac{HI}{AP}=\dfrac{BH}{BP}=\dfrac{MH}{CP}$

$\to HI=HM$

$\to H$ là trung điểm $IM$

Mặt khác $\widehat{KMA}=\widehat{ANM}=\widehat{AMN}=\widehat{AMI}$

$\to MA$ là phân giác $\widehat{KMI}$

Mà $MA\perp MB$

$\to MB$ là phân giác $\widehat{KMI}$

$\to \dfrac{AK}{AI}=\dfrac{BK}{BI}$

$\to AK.IB=BK.IA$