Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2
Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
Cách 1: Từ x + y = 2 ta có y = 2 - x. Do đó: S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2
Vậy min S = 2 khi và chỉ khi x = y = 1
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, b=y, d=1, ta có:
(x + y)2 <= (x2 + y2)(1 + 1) => 4 <= 2(x2 + y2) = 2S
Tương đương S >= 2 => min S = 2 khi x = y = 1
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
`ttcolor[yellow] (#Fila-mi nt)`
Ta đi chứng minh bất đẳng thức `x^2+y^2>=[(x+y)^2]/2` (1)
Thật vậy:
`(1) <=> 2(x^2+y^2)>=(x+y)^2`
`<=> 2x^2+2y^2>=x^2+2xy+y^2`
`<=> 2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2>=0`
`<=> x^2-2xy+y^2>=0`
`<=> (x-y)^2>=0` (luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
`x^2+y^2>=[(x+y)^2]/2=[2^2]/2=2`
`-> S>=2`
`-> minS=2<=>x=y=1`
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin