Ta có:`A=1/1^2+1/2^3+1/3^4+...+1/2024^2025`

`A=1+1/2^3+1/3^4+...+1/2024^2025`

Vì `1=1` và các số hạng còn lại của tổng `A` đều lớn hơn `0`

`⇒A>1(1)`

Lại có:`A=1/1^2+1/2^3+1/3^4+...+1/2024^2025`

`A=1+1/2^3+1/3^4+...+1/2024^2025`

Ta có:

`1` giữ nguyên

`1/2^3<1/2^2<1/1.2`

`1/3^4<1/3^2<1/2.3`

`...`

`1/2024^2025<1/2024^2<1/2023.2024`

`⇒A<1+1/1.2+1/2.3+...+1/2023.2024`

`⇒A<1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/2023-1/2024`

`⇒A<1+1-1/2024`

Mà `1+1-1/2024<1+1=2`

`⇒A<2(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`⇒1<A<2`

Mà không có số nguyên nào nằm giữa `1` và `2`

`⇒` Biểu thức `A` không có giá trị là số nguyên(đpcm)