Cho Tam giác abc nhọn( AB<ÁC ) kẻ 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H a) clm AEHF nt. b) Gọi O là trung điểm BC, M là giao điểm EF và BC. CLm OC2=OD.OM. C) clm MH vuông OA

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Ta có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to O$ là tâm $(BCEF)$

Ta có: $\widehat{HFB}=\widehat{HDB}=90^o\to HFBD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

            $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o\to AEDB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

$\to \widehat{FDH}=\widehat{HBF}=\widehat{ABE}=\widehat{ADE}=\widehat{HDE}$

$\to DH$ là phân giác $\widehat{EDF}$

$\to \widehat{EDF}=2\widehat{HDF}=2\widehat{HBF}=2\widehat{EBF}=\widehat{EOF}$

$\to OEFD$ nội tiếp

$\to \widehat{OE}=\widehat{OFE}=\widehat{OEF}$

$\to \Delta ODE\sim\Delta OEM(g.g)$

$\to \dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OE}{OM}$

$\to OD.OM=OE^2=OC^2$

c.Kẻ đường tròn ngoại tiêp $\Delta ABC,$ đường kính $AK, MA\cap (ABC)=G$

$\to MG.MA=MB.MC=ME.MF$

$\to AEFG$ nội tiếp

Mà $AEHF$ nội tiếp

$\to AGFHE$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{AGH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to HG\perp AM$

Vì $AK$ là đường kính của $(ABC)\to KB\perp AB, KC\perp AC\to KB//HC, KC//HB$
$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to HK\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Do $O$ là trung điểm $BC\to O$ là trung điểm $HK\to H, O, K$ thẳng hàng

Lại có: $\widehat{AGK}=90^o$ do $AK$ là đường kính của $(ABC)$

$\to KG\perp AM$

Do $HG\perp AM$

$\to G, H,K, O$ thẳng hàng

$\to OH\perp AM$

Mà $AH\perp OM$

$\to H$ là trực tâm $\Delta AMO$

$\to MH\perp AO$