Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABC,\Delta HBA$ có:

Chung $\hat B$

$\hat A=\hat H(=90^o)$

$\to \Delta ABC\sim\Delta HBA(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\to BH=\dfrac{AB^2}{BC}$

Ta có; $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

$\to BH=3.6$

b.Xét $\Delta MAB,\Delta mCI$ có:

$\hat A=\hat I(=90^o)$

$\widehat{AMB}=\widehat{CMI}$

$\to \Delta MAB\sim\Delta MIC(g.g)$

$\to \dfrac{MA}{MI}=\dfrac{MB}{MC}$

$\to MA.MC=MB.MI$

c.Ta có:

$S_{BIC}=\dfrac12IB.IC=\dfrac14.2IB.IC\le\dfrac14(IB^2+IC^2)=\dfrac14BC^2$

Dấu = xảy ra khi $IB=IC$

$\to \Delta IBC$ vuông cân tại $I$

$\to \widehat{MBC}=\widehat{IBC}=45^o$