Giải thích các bước giải:

Ta có:

$BD//B'D$

$\to d(BD, AD')=d(BD, AD'B')=d(D, AD'B')=d(A', AD'B')$ vì $A'D\cap AD'$ tại trung điểm $AD'$

Gọi chiều cao lăng trụ là $x, x>0$

Cạnh đáy là $y, y>0$

Vì $AA'<AB\to x<y$

Diện tích mặt bên là $a^2\sqrt2$

$\to xy=a^2\sqrt2$

$\to x=\dfrac{a^2\sqrt2}y$

Khoảng cách $DB, AD'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{10}}5$

$\to \dfrac{1}{(\dfrac{a\sqrt{10}}5)^2}=\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}+\dfrac1{y^2}$

$\to \dfrac{1}{(\dfrac{a\sqrt{10}}5)^2}=\dfrac1{(\dfrac{a^2\sqrt2}y)^2}+\dfrac1{y^2}+\dfrac1{y^2}$

$\to y=2a$ hoặc $y=a$

$\to x=\dfrac{a}{\sqrt2}$ hoặc $x=a\sqrt2$

Vì $x<y$

$\to y=2a\to x=\dfrac{a}{\sqrt2}$

$\to$Thể tích khối tròn xoay nội tiếp lăng trụ là:

$$\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot a^2\cdot \pi=\dfrac{a^3\sqrt2\pi}2$$

$\to C$