`∀a,b>0` ta có : `a^2+b^2≥2ab`

`⇒(a+b)^2≥4ab`

`⇒2=4ab-a-b≤(a+b)^2-(a+b)`

`⇔(a+b)^2-(a+b)-2≥0`

`⇔(a+b+1)(a+b-2)≥0`

Mà `a,b>0` nên `a+b+1>0`

`⇒a+b-2≥0`

`⇔a+b≥2`

Ta có : `M=a+b+1/[a+b]`

`=3/4 (a+b) +1/4 (a+b)+1/(a+b)`

Áp dụng bất đẳng thức AM `-` GM ta có : 

`3/4 (a+b) +1/4 (a+b)+1/(a+b)≥3/4 . 2 +2\sqrt{1/4 (a+b) . 1/(a+b)}=5/2`

Hay `M≥5/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a=b=1`

Vậy GTNN của `M=5/2` tại `a=b=1`