Đáp án: $4x+2y+z-19=0$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\vec{AB}=(-2,-6, 1)$

$\vec{AC}=(2,-4, 2)$

$\to [\vec{AB},\vec{AC}]=(-8, 6, 20)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:

$$-8(x-3)+6(y-2)+20(z-1)\to -8x+6y+20z-8=0$$

Gọi $H(a,b,c)$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to H\in (ABC), AH\perp BC, BH\perp AC$

$\to \begin{cases}-8a+6b+20c-8=0\\(a-3)\cdot4+(b-2)\cdot 2 +(c-1)\cdot1 =0\\(a-1)\cdot 2+(b+4)\cdot(-4) +(c-2)\cdot2 =0\end{cases}$

$\to a=\dfrac{562}{125},\:c=\dfrac{69}{25},\:b=-\dfrac{234}{125}$

$\to \vec{AH}=(\dfrac{562}{125}-3, -\dfrac{234}{125}-2, \dfrac{69}{25}-1)$

$\to \vec{AH}=(\dfrac{187}{125},  -\dfrac{484}{125},  \dfrac{44}{25})$

Mà $\vec{n_{ABC}}=(-8, 6, 20)$

$(\dfrac{187}{125},  -\dfrac{484}{125},  \dfrac{44}{25})$

$(-8, 6, 20)$

$\to [\vec{AH},\vec{n_{ABC}}]=(-88, -44, -22)//(4,2,1)$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

$$4(x-5)+2(y+2)+1(z-3)=0\to 4x+2y+z-19=0$$