bài toán cổ: trăm trâu,trăm cỏ trâu đứng ăn năm trâu nằm ăn ba lụ khụ trâu già ba con một bó hỏi có bao nhiêu con trâu đứng,trâu nằm,trâu già?

Nếu mỗi con trâu ăn gấp $3$ lần thì tổng số bó cỏ là:

$100\times3=300$ (bó)

Gọi trâu đứng là Đ, trâu nằm là N và trâu già là G

Vì có tất cả $100$ con trâu nên ta có:

$ Đ+N+G=100$

Vì mỗi trâu đứng ăn năm bó, mỗi trâu nằm ăn ba bó và  mỗi trâu già ăn $\dfrac{1}{3}$ bó nên nếu mỗi con ăn gấp $3$ lần thì trâu đứng ăn $15$ bó, trâu nằm ăn $9$ bó và trâu già ăn $1$ bó. Theo bài ra ta có:

 $Đ\times15+N\times9+G=300$

$Đ\times14+N\times8+(Đ+N+G)=300$

$Đ\times14+N\times8+100=300$

$Đ\times14+N\times8=300-100=200$

$Đ\times7+N\times4=100$ (chia cả hai vế cho $2$)

Vì $N\times4$ và $100$ đều chia hết cho $4$ nên $Đ\times7$ cũng chia hết cho $4$.Vậy số trâu đứng chia hết cho $4$.

Vì $Đ\times7$ phải nhỏ hơn $100$ nên số trâu đứng lớn nhất có thể là $14$.Do số trâu đứng chia hết cho $4$ nên ta chỉ xét các trường hợp trâu đứng là $4; 8; 12$.

-Nếu số trâu đứng là $4$ thì $4\times7+N\times4=100$ hay $N=(100-28):4=18$ .

Số trâu già khi đó là:

$100-4-18=78$ (con)

-Nếu số trâu đứng là $8$ thì $8\times7+N\times4=100$ hay $N=(100-56):4=11$ .

Số trâu già khi đó là:

$100-8-11=81$ (con)

-Nếu số trâu đứng là $12$ thì $12\times7+N\times4=100$ hay $N=(100-84):4=4$ .

Số trâu già khi đó là:

$100-4-12=84$ (con)

Vậy có ba trường hợp thỏa mãn đề bài:

-Số trâu đứng là $4$ con, trâu nằm là $18$ con và trâu già là $78$ con.

-Số trâu đứng là $8$ con, trâu nằm là $11$ con và trâu già là $81$ con.

-Số trâu đứng là $12$ con, trâu nằm là $4$ con và trâu già là $84$ con.