Đáp án: $40m^2$

Giải thích các bước giải:

Giả sử elip có phương trình $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1, (a>b>0)$

Vì độ dài trục lớn $10m\to 2a=10\to a=5$

Vì tiêu cự là $6m$

$\to 2c=6\to c=3$

$\to b^2=a^2-c^2=5^2-3^2=16\to b=4$

$\to (E):\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$

Gọi $M, N, P, Q$ là $4$ đỉnh hình chữ nhật

Giả sử $M(x,y)\in E$

$\to N(x, -y), P(-x,y), Q(-x, -y)$

$\to MN=\sqrt{(x-x)^2+(-y-y)^2}=2y$

      $MP=\sqrt{(-x-x)^2+(y-y)^2}=2x$

$\to $Diện tích hình chữ nhật là $4xy(m^2)$

Mà $1=\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}\ge 2\sqrt{\dfrac{x^2}{5^2}\cdot \dfrac{y^2}{4^2}}=\dfrac1{10}xy$

$\to xy\le 10$

$\to $Diện tích hình chữ nhật lớn nhất là $40$

Dấu = xảy ra khi:

$\begin{cases}\dfrac{x^2}{5^2}=\dfrac{y^2}{4^2}\\ 1=\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}\end{cases}$

$\to (x,y)\in\{(\dfrac5{\sqrt2}, 2\sqrt2), (-\dfrac5{\sqrt2}, 2\sqrt2), (\dfrac5{\sqrt2}, -2\sqrt2),(-\dfrac5{\sqrt2}, -2\sqrt2)\}$