Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho hệ phương trình dưới đây có nghiệm duy nhất \((x_0, y_0)\) mà tổng \( P = x_0 + y_0 \) là một số nguyên. Hệ phương trình đã cho: 1. \( x + 2y - m + 1 = 0 \) (Equation 1) 2. \( 2x - my + 2 = 0 \) (Equation 2) ### Bước 1: Xác định điều kiện của hệ phương trình có nghiệm duy nhất Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu hệ số của \( x \) và \( y \) thoả mãn điều kiện định thức khác 0: \[ \text{Định thức} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -m \end{vmatrix} = 1 \cdot (-m) - 2 \cdot 2 = -m - 4 \] Để có nghiệm duy nhất, định thức phải khác 0: \[ -m - 4 \neq 0 \implies m \neq -4 \] ### Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm nghiệm của hệ. Từ phương trình 1, ta có: \[ x = m - 2y - 1 \] Thay vào phương trình 2: \[ 2(m - 2y - 1) - my + 2 = 0 \] \[ 2m - 4y - 2 - my + 2 = 0 \implies 2m - 4y - my = 0 \implies my + 4y = 2m \implies y(m + 4) = 2m \] Từ đó, ta có: \[ y = \frac{2m}{m + 4} \quad (m \neq -4) \] Thay giá trị của \( y \) vào phương trình 1 để tìm \( x \): \[ x = m - 2\left(\frac{2m}{m + 4}\right) - 1 = m - \frac{4m}{m+4} - 1 \] Tính \( x \): \[ x = m - 1 - \frac{4m}{m+4} = \frac{(m - 1)(m + 4) - 4m}{m + 4} = \frac{m^2 + 4m - m - 4 - 4m}{m + 4} = \frac{m^2 - m - 4}{m + 4} \] ### Bước 3: Tính tổng \( P \) Tổng \( P = x + y \): \[ P = \frac{m^2 - m - 4}{m + 4} + \frac{2m}{m + 4} = \frac{m^2 - m - 4 + 2m}{m + 4} = \frac{m^2 + m - 4}{m + 4} \] ### Bước 4: Tìm giá trị nguyên dương \( m \) Ta cần \( P \) là một số nguyên, nghĩa là \( m^2 + m - 4 \) phải chia hết cho \( m + 4 \). Sử dụng phép chia, ta thực hiện tính \( m^2 + m - 4 = (m + 4)(m - 3) + 8 \). Do đó, \( P \) sẽ là nguyên nếu \( 8 \) chia hết cho \( m + 4 \). Tức là \( m + 4 \) phải là một trong các ước của 8, đó là \( 1, 2, 4, 8 \). Giải hệ: - Nếu \( m + 4 = 1 \) thì \( m = -3 \) (không hợp lệ). - Nếu \( m + 4 = 2 \) thì \( m = -2 \) (không hợp lệ). - Nếu \( m + 4 = 4 \) thì \( m = 0 \) (không hợp lệ). - Nếu \( m + 4 = 8 \) thì \( m = 4 \) (hợp lệ). ### Kết luận Giá trị duy nhất của \( m \) thỏa mãn điều kiện là \( m = 4 \). Tìm giá trị nguyên dương \( m \): **Giá trị nguyên dương của \( m \) là \( 4 \)**.