Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), trung tuyến AD. Kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F. Chứng minh: a) ΔDCE ∽ ΔDFB. b) AE.AC = AB.AF. c) Đường cao AH của tam giác ABC cắt EF tại I. Chứng minh: SABC/SAEF=(AD/AI)2

Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A, D$ là trung điểm $BC\to DA=DB=DC=\dfrac12BC$

$\to \Delta DAC,\Delta DAB$ cân tại $D$

$\to \widehat{DCE}=\hat C=\widehat{DAC}=\widehat{DAE}=90^o-\widehat{DAF}=\widehat{AFD}=\widehat{BFD}$

Mà $\widehat{EDC}=\widehat{BDF}$

$\to \Delta EDC\sim\Delta BDF(g.g)$

b.Từ a $\to \hat C=\hat F$

Mà $\widehat{FAE}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

$\to AB\cdot AF=AE\cdot AC$

c.Từ b $\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

Ta có:

$\widehat{IAE}=\widehat{HAE}=\widehat{HAC}=90^o-\widehat{HAB}=\widehat{ABH}=\widehat{DBA}=\widehat{ABC}=\widehat{AEF}=\widehat{AEI}$

$\to \Delta IAE$ cân tại $I\to AI=IE$

Mà $\widehat{IAF}=90^o-\widehat{IAE}=90^o-\widehat{IEA}=\hat F$

$\to \Delta IAF$ cân tại $I\to IA=IF$

$\to IA=IE=IF$

$\to I$ là trung điểm $EF\to IA=IE=IF=\dfrac12EF$

$\to \dfrac{AD}{AI}=\dfrac{2AD}{2AI}=\dfrac{BC}{EF}$

Từ b $\to \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=(\dfrac{BC}{EF})^2=(\dfrac{AD}{AI})^2$

$\to đpcm$