Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{IFB}=\widehat{ECI}\to \Delta IBF\sim\Delta IEC(g.g)$

$\to \dfrac{IB}{IE}=\dfrac{IF}{IC}$

$\to IE\cdot IF=IB\cdot IC$

c.Tương tự câu b do $APBC$ nội tiếp, $AP\cap BC=I\to IB\cdot IC=IP\cdot IA$

$\to IE\cdot IF=IP\cdot IA$

$\to \dfrac{IE}{IP}=\dfrac{IA}{IF}$

$\to \Delta IPF\sim\Delta IEA(c.g.c)$

$\to \widehat{IPF}=\widehat{AEF}\to AEFP$ nội tiếp

Mà $AEHF$ nội tiếp

$\to A, P, F, H, E$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{APH}=\widehat{AFH}=90^o$

Mà $AN$ là đường kính của $(O)\to\widehat{APN}=90^o=\widehat{APH}$

$\to P, H, N$ thẳng hàng

d.Kẻ $OD\perp BC\to D$ là trung điểm $BC$

$\to \widehat{DOB}=\dfrac12\hat O=\widehat{BAC}=60^o$

$\to BD=\dfrac{OB\sqrt3}2=\dfrac{2\sqrt3}2=\sqrt3$

$\to BC=2BD=2\sqrt3$

Ta có: $\widehat{AEF}=\widehat{ABC},\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\sin60^o$

$\to EF=\dfrac{BC\sqrt3}2=3$