Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB, HK vuông góc AC. a) Chứng minh: AH2 = AI.AH b) Chứng minh: ΔAIK ∽ ΔACB c) Đường phân giác AHB̂ cắt AB tại E. Biết EB/AB=2/5 . Tính tỉ số BI/AI

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHI,\Delta AHB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AIH}=\widehat{AHB}(=90^o)$

$\to \Delta AIH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to \dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH^2=AI.AB$

b.Xét $\Delta AHK,\Delta AHC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AKH}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\to \Delta AKH\sim\Delta AHC(g.g)$
$\to \dfrac{AK}{AH}=\dfrac{AH}{AC}$

$\to AH^2=AK.AC$

$\to AI.AB=AK.AC$

$\to \dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AK}{AB}$

$\to \Delta AKI\sim\Delta ABC(c.g.c)$

c.Ta có: 

$\dfrac{EB}{BA}=\dfrac25$

$\to \dfrac{EB}{AB-EB}=\dfrac2{5-2}$

$\to \dfrac{EB}{EA}=\dfrac23$

Vì $HE$ là phân giác $\widehat{AHB}$

$\to \dfrac{HB}{HA}=\dfrac{EB}{EA}$

Xét $\Delta BIH,\Delta BHA$ có:

Chung $\hat B$

$\hat I=\hat H(=90^o)$

$\to \Delta BIH\sim\Delta BHA(g.g)$

$\to \Delta BIH\sim\Delta HIA(\sim\Delta BHA)$

$\to \dfrac{BI}{HI}=\dfrac{IH}{AI}=\dfrac{HB}{HA}=\dfrac23$

$\to \dfrac{BI}{HI}.\dfrac{IH}{AI}=\dfrac23.\dfrac23$

$\to \dfrac{IB}{IA}=\dfrac49$