`a,b,c` là các số nguyên dương

`->a,b,c>0`

`->`$\left \{ {{abc>0} \atop {a^3,b^3,c^3>0}} \right.$ 

Ta có: `a^3-b^3-c^3=abc`

`=>a^3-b^3=abc+c^3`

Vì `abc+c^3>0`

`=>a^3-b^3>0`

`=>a^3>b^3`

Hay `a>b(1)`

Tương tự chứng minh được: `a>c(2)`

Từ `(1)(2)=>2a>b+c`

`=>4a>2(b+c)`

`=>4a>a^2`

`=>a<4` ( Vì `a>0` )

`->0<a<4`

Từ `a^2=2(b+c)`

`=>a` chẵn ( Vì `2(b+c)` chẵn )

`=>a=2`

Lại có: `0<b,c<2`

`=>b=c=1`

Thay `a=2,b=1,c=1` vào `T=a^3+b^2023+c^2024` ta được:

`T=2^3+1^2023+1^2024=8+1+1=10`