cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức Q=(1/x+y+1 ) + (1/y+z+1) + (1/x+z+1)

Đáp án: \(\max_Q=1\) khi $x=y=z=1$

Giải thích các bước giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix}
x=a^3 & \\ 
y=b^3 & \\ 
z=c^3 & 
\end{matrix}\right.\)

Vì $xyz=1\to (abc)^3=1\to abc=1$

Ta có: $(a-b)^2\geqslant 0\to a^2+b^2-2ab\geqslant 0$

$\to a^2-ab+b^2\geqslant ab.$ Do đó:

$x+y+1=a^3+b^3+abc=(a+b)(a^2-ab+b^2)+abc\geqslant (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)$
Tương tự, ta có: \[\left\{\begin{matrix} x+z+1\geqslant ca(a+b+c)& \\ y+z+1\geqslant bc(a+b+c) & \end{matrix}\right.\]

Do đó: 

\[Q=\dfrac{1}{x+y+1}+\dfrac 1{y+z+1}+\dfrac 1{x+z+1}\leqslant \dfrac {abc}{ab(a+b+c)}+\dfrac{abc}{bc(a+b+c)}+\dfrac{abc}{ca(a+b+c)}=\dfrac {abc}{a+b+c}\left(\dfrac 1{ab}+\dfrac 1{bc}+\dfrac 1{ca}\right)=\dfrac 1{a+b+c}\cdot \dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac 11=1\]

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c\to x=y=z=1$