Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $\Delta: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với $d: 2x - 3y + 2023 = 0$

$\Rightarrow \Delta: 3x + 2y + c = 0$

Ta có: $(C): x^2 + y^2 + 4x - 2y - 8 = 0$

$\Leftrightarrow (C): x^2 + y^2 + 4x + 4 - 2y + 1 - 13 = 0$ 

$\Leftrightarrow (C): (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 13$

$\Rightarrow (C)\begin {cases} \text{tâm }I(-2; 1) \\ R = \sqrt{13} \end {cases}$

$\Rightarrow d(\Delta, I) = R = \sqrt{13}$

$\Rightarrow \dfrac{|3 . (-2) + 2 . 1 + c|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \sqrt{13}$

$\Leftrightarrow \dfrac{|c - 4|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$

$\Leftrightarrow |c - 4| = 13$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}c=-9\\c=17\end{array} \right.\) 

$\Rightarrow \Delta: 3x + 2y - 9 = 0$ hoặc $\Delta: 3x + 2y + 17 = 0$

Vậy tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với $d: 2x - 3y + 2023 = 0$ là $\Delta: 3x + 2y - 9 = 0$ hoặc $\Delta: 3x + 2y + 17 = 0$