Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $d_1: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với $d: 3x - 4y +2023 = 0$

Ta có: $(C): (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 25$

$\Rightarrow (C)\begin {cases}\text{tâm }I(2; -4) \\ R = \sqrt{25} = 5 \end {cases}$

$\Rightarrow  d(d_1, I) = R = 5$

Ta có: $d_1: ax + by + c = 0$ vuông góc với $d: 3x - 4y + 2023 = 0$

$\Rightarrow d_1: 4x + 3y + c = 0$

Mà $d(d_1, I) = 5$

$\Rightarrow 5 = \dfrac{|4 . 2 + 3 . (-4) + c|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

$\Leftrightarrow 5 = \dfrac{|c - 4|}{5}$

$\Leftrightarrow |c - 4| = 25$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}c=29\\c=-21\end{array} \right.\) 

$\Rightarrow d_1: 4x + 3y + 29 = 0$ hoặc $d_1: 4x + 3y - 21 = 0$

Vậy tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với $d: 3x - 4y + 2023 = 0$ là $d_1: 4x + 3y + 29 = 0$ hoặc $d_1: 4x + 3y - 21 = 0$