Giải thích các bước giải:

1.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o\to AD\perp BC, BE\perp AC$

$\to \widehat{CDH}=\widehat{CEH}=90^o$

$\to CDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH$

2a.Vì $BE\cap AD=H\to H$ là trực tâm $\Delta CAB\to CF\perp AB$

Xét $\Delta AEB,\Delta AFC$ có:

Chung $\hat A$

$\hat F=\hat E(=90^o)$

$\to \Delta ACF\sim\Delta ABE(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AF}{AE}$

$\to AE\cdot AC=AF\cdot AB$

b.Xét $\Delta FEA,\Delta FAQ$ có:

Chung $FA$

$\widehat{EFA}=\widehat{ECB}=\widehat{ACD}=\widehat{DFB}=\widehat{AFQ}$

$FE=FQ$

$\to \Delta FEA=\Delta FQA(c.g.c)$

$\to AE=AQ$

$\to AF$ là trung trực $EQ$

Mà $O\in AF\to OQ=OE=R$

$\to Q\in (O)$

$\to \widehat{AQB}=90^o$ vì $AB$ là đường kính của $(O)$

3.Gọi $BN\cap (O)=K$

$\to \widehat{AKB}=90^o\to \hat M=\hat N=\widehat{AKN}=90^o\to MNKA$ là hình chữ nhật

$\to DE//AK$

$\to \widehat{DKA}=180^o-\widehat{EDK}=\widehat{EAK}\to DEAK$ là hình thang cân

$\to DK=AE$

Mà $AE=AQ\to DK=AQ$

$\to \widehat{ADQ}=\widehat{DQK}$

$\to ADKQ$ là hình thang cân

$\to MN=AK=DQ=FQ+FD=FE+FD$