Ta cần tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình: \[ (x+2)^3 + (2y+1)^2 = 289 \]

Bước 1: Xác định phạm vi của \(x+2\) và \(2y+1\)

Vì \( (x+2)^3 \) là lũy thừa bậc 3 và \( (2y+1)^2 \) là lũy thừa bậc 2, ta xét các giá trị khả dĩ.

- Do \( (x+2)^3 \) là số lập phương, nó có thể nhận các giá trị nhỏ hơn 289.

- Do \( (2y+1)^2 \) là số chính phương, nó cũng phải nhỏ hơn hoặc bằng 289.

Từ đó, ta xét các giá trị có thể của \( (x+2)^3 \).

Bước 2: Liệt kê các giá trị của \( (x+2)^3 \)

Các số lập phương nhỏ hơn 289 là:

                   \[ -216, -125, -64, -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216 \]

Tương ứng với:

                   \[ x+2 = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]

Bước 3: Tính \( (2y+1)^2 \) và kiểm tra

Với từng giá trị của \( (x+2)^3 \), ta kiểm tra xem \( 289 - (x+2)^3 \) có là số chính phương không.

Thử từng trường hợp

1. Nếu \( (x+2)^3 = 216 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 - 216 = 73\) (**Không phải số chính phương**)

2. Nếu \( (x+2)^3 = 125 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 - 125 = 164\) (**Không phải số chính phương**)

3. Nếu \( (x+2)^3 = 64 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 - 64 = 225 = 15^2 \Rightarrow 2y+1 = \pm 15\)

\( \Rightarrow y = \frac{15-1}{2} = 7\) hoặc \( y = \frac{-15-1}{2} = -8 \)

4. Nếu \( (x+2)^3 = 27 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 - 27 = 262\) (**Không phải số chính phương**)

5. Nếu \( (x+2)^3 = 8 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 - 8 = 281\) (**Không phải số chính phương**)

6. Nếu \( (x+2)^3 = 1 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 - 1 = 288\) (**Không phải số chính phương**)

7. Nếu \( (x+2)^3 = 0 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 - 0 = 289 = 17^2\)

\( \Rightarrow 2y+1 = \pm 17\) \( \Rightarrow y = \frac{17-1}{2} = 8\) hoặc \( y = \frac{-17-1}{2} = -9 \)

8. Nếu \( (x+2)^3 = -1 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 + 1 = 290\) (**Không phải số chính phương**)

9. Nếu \( (x+2)^3 = -8 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 + 8 = 297\) (**Không phải số chính phương**)

10. Nếu \( (x+2)^3 = -27 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 + 27 = 316\) (**Không phải số chính phương**)

11. Nếu \( (x+2)^3 = -64 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 + 64 = 353\) (**Không phải số chính phương**)

12. Nếu \( (x+2)^3 = -125 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 + 125 = 414\) (**Không phải số chính phương**)

13. Nếu \( (x+2)^3 = -216 \Rightarrow (2y+1)^2 = 289 + 216 = 505\) (**Không phải số chính phương**)

Bước 4: Kết luận** Các cặp \((x, y)\) thỏa mãn là: \[ (2, 7), (2, -8), (-2, 8), (-2, -9) \]

Vậy tập nghiệm là:** \[ \{(2,7), (2,-8), (-2,8), (-2,-9)\} \]