Đáp án + Giải thích các bước giải:

$x^2 - 3x - 7 = 0(a = 1; b = -3; c = -7)$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 . (-7) = 37 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ 

Áp dụng hệ thức Viet, ta có:
$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{3}{1} = 3 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} =\dfrac{-7}{1} = -7 \end {cases}$

Đặt $S = \dfrac{1}{x_1 - 1} + \dfrac{1}{x_2 - 1}$, $P = \dfrac{1}{x_1 - 1} . \dfrac{1}{x_2 - 1}$

$\Rightarrow$ Phương trình cần tìm có dạng $x^2 - Sx + P = 0($định lý Viet đảo$)$

Ta có:

$S = \dfrac{1}{x_1 - 1} + \dfrac{1}{x_2 - 1}$

$= \dfrac{x_2 - 1 + x_1 - 1}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)}$

$= \dfrac{x_1 + x_2 - 2}{x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1}$

$= \dfrac{3 - 2}{-7 - 3 + 1}$

$= \dfrac{-1}{9}$

$P = \dfrac{1}{x_1 - 1} . \dfrac{1}{x_2 - 1}$

$= \dfrac{1}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)}$

$= \dfrac{1}{x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1}$

$= \dfrac{1}{-7 - 3 + 1}$

$= \dfrac{-1}{9}$

$\Rightarrow$ Phương trình cần tìm là $x^2 + \dfrac{1}{9}x - \dfrac{1}{9} = 0$

Vậy phương trình bậc hai có các nghiệm là $\dfrac{1}{x_1 - 1}$ và $\dfrac{1}{x_2 - 1}$ là $x^2 + \dfrac{1}{9}x - \dfrac{1}{9} = 0$