Tính giá trị biểu thức : S = tan(pi/18)^6 + tan(5pi/18)^6 + tan(7pi/18)^6. Nhờ mọi người giải giúp mình vs ạ, gấp lắm

Đáp án:

 $S=433$

Giải thích các bước giải:

 Ta có: $\tan^2\left(3\cdot \dfrac{\pi}{18}\right)=\tan^2\left(3\cdot \dfrac{5\pi}{18}\right)=\tan^2\left(3\cdot \dfrac{7\pi}{18}\right)=\dfrac 13$

Do đó: $\dfrac{\pi}{18}; \dfrac{5\pi}{18};\dfrac{7\pi}{18}$ là các nghiệm của $\tan^33x=\dfrac 13$

$\to \left(\dfrac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}\right)^2=\dfrac 13$

$\to 3\tan^6x+33\tan^2x-27\tan^4x-1=0$

$\to \tan^2\dfrac{\pi}{18};\tan\dfrac{7\pi}{18};\tan^2\dfrac{\pi}{18}$ là các nghiệm của $3y^3-27y^2+33y-1=0$

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \[\left\{\begin{matrix} y_1\cdot y_2\cdot y_3=\dfrac 13 & \\ y_1\cdot y_2+y_2\cdot y_3+y_3\cdot y_1=11 & \\ y_1+y_2+y_3=9 & \end{matrix}\right.\]

Do đó: $y^3_1+y^3_2+y^3_3=(y_1+y_2+y_2)^3-3(y_1+y_2+y_3)\cdot (y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1)+3y_1y_2y_3$

Do đó: $P=9^3-3\cdot 11\cdot 9+3\cdot \dfrac 13$

$\to P=433$