cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức Q=(1/x+y+1 ) + (1/y+z+1) + (1/x+z+1)

Đáp án: $Q\le 1$

Giải thích các bước giải:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : cho x,y dương chứng minh rằng $x^3+y^3\ge xy(x+y)$

Thật vậy : 

Ta có : 
$x^3+y^3+y^3\ge 3\sqrt[3]{x^3.y^3.y^3}=3xy^2$

$x^3+x^3+y^3\ge 3\sqrt[3]{x^3.x^3.y^3}=3x^2y$

Cộng vế với vế $\to 3(x^3+y^3)\ge 3(xy^2+x^2y)\to x^3+y^3\ge xy(x+y)$

Đặt $x=a^3,y=b^3,z=c^3\to abc=1$

$\to x+y+1=a^3+b^3+1\ge ab(a+b)+1=ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)$

Tương tự $\to y+z+1=b^3+c^3+1\ge bc(a+b+c)$

                         $z+x+1=c^3+a^3+1\ge ca(a+b+c)$

$\to Q\le\dfrac{1}{ab(a+b+c)}+\dfrac{1}{bc(a+b+c)}+\dfrac{1}{ca(a+b+c)}$

$\to Q\le\dfrac{c}{abc(a+b+c)}+\dfrac{a}{abc(a+b+c)}+\dfrac{b}{abc(a+b+c)}$

$\to Q\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}$

$\to Q\le\dfrac{c+a+b}{a+b+c}$

$\to Q\le 1$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1\to x=y=z=1$