Câu 20 (1,0 điểm) Chứng minh rằng: $\frac{1}{3^2}$+ $\frac{1}{4^2}$+ $\frac{1}{5^2}$+ $\frac{1}{6^2}$+...+ $\frac{1}{100^2}$ < $\frac{1}{2}$ 

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt `A = 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + ... + 1/100^2.`

Ta có:

`1/3^2 < 1/2.3`

`1/4^2 < 1/3.4`

`1/5^2 < 1/4.5`

`1/6^2 < 1/5.6`

`...`

`1/100^2 < 1/99.100`

Từ đó, vậy:

` 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + ... + 1/100^2 < 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 + 1/5.6 + ... + 1/99.100.`

` A < 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 + ... + 1/99 - 1/100`

` A < 1/2 - 1/100`

` A < 50/100 - 1/100`

` A < 49/100.`

Mà `49/100 < 1/2.`

`=> A < 1/2(đpcm)`