Đáp án+Giải thích các bước giải:

`x^2( x + 1 ) + x^2 + 3x + 2 = 2^y`

`<=> x^2( x + 1 ) + ( x + 1 )( x + 2 ) = 2^y`

`<=> ( x^2 + x + 2 )( x + 1 ) = 2^y`

Gọi ƯCLN`( x^2 + x + 2 ; x + 1 ) = d  ( d in N`* )

`=> {(x^2 + x + 2  \vdots  d),(x + 1  \vdots  d):}`

`=> 2  \vdots  d  mà   d in N`*

`=> d in { 1 ; 2 }`

Với `d = 1 => ( x^2 + x + 2 ; x + 1 ) = 1`

`Mà   x^2 + x + 2 = x( x + 1 ) + 2` chẵn và `x^2 + x + 2 > 0`

`=> x + 1` lẻ

Lại có: `( x^2 + x + 2 )( x + 1 ) > 1  AA  x in N => 2^y >= 2`

`=> 2^y` luôn chẵn 

`=> x + 1 = 1 => x = 0 => y = 1` ( thử lại TM )

Với `d = 2` tồn tại `a ; b  in  N` thoả mãn

`{(x^2 + x + 2 = 2^a),(x + 1 = 2^b):}  ( a > b  và  a + b = y )`

`=> x( x + 1 ) + 2 = 2^a`

`=> x . 2^b + 2 = 2^a`

`=> 2^a - 2^b . x = 2`

`=> 2^b . ( 2^( a - b ) - x ) = 2`

`Do  x + 1  \vdots  2 => x` lẻ `=> 2^( a - b ) - x` lẻ 

`=> {(2^b = 2),(2^( a - b ) - x = 1):}`

`<=> {(b = 1),(2^( a - 1 ) = x + 1):}`

`<=> {(b = 1),(2^( a - 1 ) = 2^1):}`

`<=> {(b = 1),(a - 1 = 1):}`

`<=> {(b = 1),(a = 2):}`

`=> y = a + b = 3` khi đó thay vào `x + 1 = 2 => x = 1`

thử lại TM

`Vậy  ( x ; y ) in { ( 1 ; 3 ) ; ( 0 ; 1 ) }`