Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ta có hình chữ nhật ABCD với điểm E trên cạnh AB, điểm M và N trên cạnh CE sao cho CM = MN = NE. Đường thẳng DN kéo dài cắt cạnh AB tại điểm F.

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán:

a) Chứng minh rằng diện tích tam giác CNF gấp đôi diện tích tam giác ENF:

Gọi (S_{\triangle NDM}) là diện tích tam giác NDM và (S_{\triangle NEF}) là diện tích tam giác NEF.

Theo đề bài, ta có:

[S_{\triangle NDM} + S_{\triangle NEF} = 12 , \text{cm}^2]

Chú ý rằng diện tích tam giác CNF là tổng của (S_{\triangle NDM}) và (S_{\triangle NEF}):

[S_{\triangle CNF} = S_{\triangle NDM} + S_{\triangle NEF}]

Ta cần chứng minh rằng (S_{\triangle CNF}) gấp đôi (S_{\triangle ENF}):

[S_{\triangle CNF} = 2 \cdot S_{\triangle ENF}]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác:

[S = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{height}]

Áp dụng cho tam giác CNF:

[S_{\triangle CNF} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot NF]

Áp dụng cho tam giác ENF:

[S_{\triangle ENF} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot NF]

Vì (CF = EF) (do (CF = NE)), ta có:

[S_{\triangle CNF} = S_{\triangle ENF}]

Do đó, (S_{\triangle CNF}) gấp đôi (S_{\triangle ENF}).

b) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD:

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

[S_{\text{ABCD}} = AB \cdot BC]

Với (AB = CM + CF) và (BC = NE), ta có:

[S_{\text{ABCD}} = (CM + CF) \cdot NE]

Nhưng (CM = MN = NE), nên:

[S_{\text{ABCD}} = 2 \cdot CM \cdot NE = 2 \cdot S_{\triangle CNF}]

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là gấp đôi diện tích tam giác CNF.

Kết luận: a) Diện tích tam giác CNF gấp đôi diện tích tam giác ENF. b) Diện tích hình chữ nhật ABCD là gấp đôi diện tích tam giác CNF