Cho các số thực a, b thỏa mãn a² + b² = 2

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 3(a + b)+4ab

Đáp án:

Pmax = 10

Pmin = $\dfrac{-41}{8}$ 

Giải thích các bước giải:

Đặt S = a + b, p = ab (ĐK: $S^{2}$ $\geq$ `4p`)

Có $S^{2}$ = $a^{2}$ `+` $b^{2}$ `+2ab` = 2 + 2p

`->` p = $\dfrac{S^2 - 2}{2}$ 

Vì $S^{2}$ $\geq$ `4p` 

`->` $S^{2}$ $\geq$ `4.` $\dfrac{S^2 - 2}{2}$ `=` `2S^2 - 4`

`->` $S^{2}$ $\leq$ `4`

`->` `|S|` $\leq$ `2`

DK: `-2` $\leq$ `S` $\leq$ `2`

P = `3(a+b) + 4ab` = `3S +` `4.`$\frac{S^2 - 2}{2}$ `=` `2S^2 + 3S - 4`

P = `2.(S^2 + \frac{3}{2}.S + \frac{9}{16})` `-\frac{9}{8} - 4`

P = `2.(S+ \frac{3}{4})^2` `- \frac{41}{8}`

Vì: `-2` $\leq$ `S` $\leq$ `2`

`->` `\frac{-5}{4}` $\leq$ `S+ \frac{3}{4}` $\leq$ `\frac{11}{4}`

`->` `0` $\leq$ `(S+ \frac{3}{4})^2` $\leq$ `\frac{121}{16}`

`->` `0` $\leq$ `2(S+ \frac{3}{4})^2` $\leq$ `\frac{121}{8}`

`->` `\frac{-41}{8}` $\leq$ `2(S+ \frac{3}{4})^2` `-` `\frac{41}{8}` $\leq$ `\frac{80}{8}` `=` `10`

Mà `2(S+ \frac{3}{4})^2` `-` `\frac{41}{8}` `=` `P`

Vậy:

 `P_max` `=` `10` `<=>` `{(S=2=a+b),(p=1=ab):}` `->` `a=b=1`

 `P_min` `=` `\frac{-41}{8}` `<=>` `{(S=\frac{-3}{4}=a+b),(p=\frac{-23}{32}=ab):}` `->` `t^2 + \frac{3}{4}t - \frac{23}{32}=0` `->` `{(a=\frac{-3+\sqrt{55}}{8}),(b=\frac{-3-\sqrt{55}}{8}):}`

------------------

$#HD247$
$#Maths$

_demikamy_

##KHÔNG HIỂU CỨ HỎI##