Gọi $O$ là trung điểm $MN$ $=>$ $O(\dfrac{9}{2};4)$
Do $\Delta MNC$ vuông tại $C$ $=>$ $OC=OM=ON$
$=>$ $M,N,C$ thuộc vào đường tròn tâm $O$ và $R=OM$
$R^2=OM^2=(3-\dfrac{9}{2})^2+(5-4)^2=\dfrac{13}{4}$

Phương trình đường tròn: $(x-\dfrac{9}{2})^2+(y-4)^2=\dfrac{13}{4}(1)$
Gọi $Q$ là giao điểm của $(O;OM)$ với $AC$
Ta có: $\widehat{NCQ}=\dfrac{1}{2}\mathop{NQ}\limits^{\displaystyle\frown}$
$=>$ $\mathop{NQ}\limits^{\displaystyle\frown}=90^o$
$=>$ $\widehat{NOQ}=90^o$ hay $OQ \bot MN$
Phương trình $OQ:3(x-\dfrac{9}{2})-2(y-4)=0 <=> 3x-2y-\dfrac{11}{2}=0(2)$
Tọa độ điểm $Q$ thỏa mãn phương trình $(1);(2):$
$<=>$ $(\dfrac{2y}{3}-\dfrac{8}{3})^2+(y-4)^2=\dfrac{13}{4}$
$<=>$ $\dfrac{4(y-4)^2}{9}+(y-4)^2-\dfrac{13}{4}=0$
$<=>$ $(y-4)^2=\dfrac{9}{4}$
$=>$ $y=\dfrac{11}{2}$ hoặc $y=\dfrac{5}{2}$
$=>$ $Q(\dfrac{11}{2};\dfrac{11}{2})$ hoặc $Q(\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2})$

Do $A,Q$ nằm cùng phía so với $MN$ $(2.\dfrac{7}{2}+3\dfrac{5}{2}-21).(2.2+3-21)>0$
$=>$ $Q(\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2})$
Phương trình $AQ:1(x-2)-1(y-2)=0 => x-y=0$

Vì $Q \in AC$ $=>$ Phương trình $AC:x-y=0$
$=>$ $a+b+c=1-1+0=0$
Vậy $a+b+c=0$