Xét deg `P = 0 <=> P(x) = c`

`<=> 16c = c^2`

`<=>c = 0 \text{ hoặc } c = 16`

Xét deg `P = n > 0`, đặt `P(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_i x^i)`

`<=> 16 . \sum_{i = 0}^{n} (a_i x^(2i)) = (\sum_{i = 0}^{n} (a_i (2x)^i))^2`

Đồng nhất hệ số cao nhất ta được :

`16a_n = a_n^2 . (2^n)^2`

`<=> 16a_n = a_n^2 . 4^n`

`<=> a_n . (4^n a_n - 16) = 0`

Hiển nhiên `a_n \ne 0` do deg `P = 0`

`<=> 4^n a_n - 16 = 0`

`<=> a_n = 16/(4^n)`

`=> n = 1 \text{ hoặc } n = 2`

Xét `n = 1` thì `a_n = 4`. Đặt `P(x) = 4x + a`

Thay vào biểu thức ban đầu ta có :

`16 . (4x^2 + a) = (8x + a)^2`

`<=> 64x^2 + 16a = 64x^2 + 32ax + a^2`

`<=> {(32a = 0),(a^2 = 16a):}`

`<=> a = 0`

Do đó : `P(x) = 4x`

Xét `n = 1` thì `a_n = 1`. Đặt `P(x) = x^2 + ax + b`

Thay vào biểu thức ban đầu ta có :

`16 (x^4 + ax^2 + b) = (4x^2 + 2ax + b)^2`

`<=> 16x^4 + 16ax^2 + 16b = 16x^4 + 4x^2 a^2 + b^2 + 16ax^3 + 4abx + 8bx^2`

`<=> {(16a = 0),(16a = 4a^2 + 8b),(4ab = 0),(16b = b^2):}`

`<=> {(a = 0),(b = 0):}`

`<=> P(x) = x^2`

Thử lại ta thấy ok

Vậy `P(x) = 0 ; P(x) = 16 ; P(x) = 4x \text{ hoặc } P(x) = x^2`