Tìm đa thức có bậc nhỏ hơn 4 thỏa mãn hệ thức: a) 3.f(x)-f(1-x)=x^2-1 b) x.P(x-2)=(x-1).P(x)

Đáp án:

a) Do bậc của f(x) nhỏ hơn 4 mà bên vế phải có bậc 2

=> bậc của f(x) là 2

Gọi: 

$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = a\,{x^2} + bx + c\\
 \Rightarrow f\left( {1 - x} \right) = a.{\left( {1 - x} \right)^2} + b.\left( {1 - x} \right) + c\\
 = a\,{x^2} - 2ax + a - bx + b + c\\
 = a\,{x^2} - \left( {2a + b} \right)x + a + b + c\\
Do:3f\left( x \right) - f\left( {1 - x} \right) = {x^2} - 1\\
 \Rightarrow 3.\left( {a\,{x^2} + bx + c} \right) - \left( {a\,{x^2} - \left( {2a + b} \right)x + a + b + c} \right) = {x^2} - 1\\
 \Rightarrow 2a\,{x^2} + \left( {2a + 4b} \right)x - a - b + 2c = {x^2} - 1\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a = 1\\
2a + 4b = 0\\
 - a - b + 2c =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2}\\
b =  - \frac{1}{4}\\
c =  - \frac{3}{8}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{4}x - \frac{3}{8}\\
b)P\left( x \right) = a.x + b\\
 \Rightarrow P\left( {x - 2} \right) = a.\left( {x - 2} \right) + b = a.x - 2a + b\\
Do:x.P\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 1} \right).P\left( x \right)\\
 \Rightarrow x.\left( {a.x - 2a + b} \right) = \left( {x - 1} \right).\left( {a.x + b} \right)\\
 \Rightarrow a.{x^2} - 2ax + bx = a.{x^2} + bx - a.x - b\\
 \Rightarrow a.x - b = 0\\
 \Rightarrow a = 0;b = 0\\
 \Rightarrow P\left( x \right) = 0
\end{array}$