Ta gọi điểm $I$ sao cho $2\vec{IA}-\vec{IB}=\vec{0}$. Khi này xác định được điểm $I(5;5;-1)$
$\begin{array}{l}
I{A^2} = 9,I{B^2} = 36\\
P = 2M{A^2} - M{B^2}\\
P = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\
 = 2\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA}  + {{\overrightarrow {IA} }^2}} \right) - \left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IB}  + {{\overrightarrow {IB} }^2}} \right)\\
 = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB} } \right) + 2I{A^2} + I{B^2}\\
 = M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} = M{I^2} + 2.9 + 36 = M{I^2} + 54
\end{array}$

Ta cần tìm vị trí sao cho $MI$ đạt max hoặc min để $P$ đạt max hoặc min

Gọi $I_1$ là tâm của mặt cầu. Ta có $I_1(1;2;-1)$

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M{I_{\min }} = {I_1}I - R\\
M{I_{\max }} = {I_1}I + R
\end{array} \right.\\
{I_1}I = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2}}  = 5,R = 3\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
M{I_{\min }} = 5 - 3 = 2\\
M{I_{\max }} = 5 + 3 = 8
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{P_{\max }} = 118\\
{P_{\min }} = 58
\end{array} \right. \Rightarrow m - n = 60
\end{array}$