Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Trong $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

Xét $\Delta AA'D$ vuông tại $A$, có $A'D = \sqrt{AD^2 + AA'^2} = a\sqrt{2}$

Xét $\Delta AA'B$ vuông tại $A$, có $A'B = \sqrt{AB^2 + AA'^2} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow A'D = A'B$
$\Rightarrow \Delta A'DB$ cân tại $A'$
Mà $O$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow A'O \bot BD$

Ta có:

$\begin {cases} A'O \bot BD (cmt) \\ AO \bot BD(O\text{ là trung điểm của BD},\Delta ABD\text{ cân tại }A)\end {cases}$

$\Rightarrow [A, BD, A'] = \widehat{AOA'}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, có $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét $\Delta AOA'$ vuông tại $A$, ta có:

$A'O =\sqrt{AO^2 + AA'^2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow \cos \widehat{AOA'} = \dfrac{AO}{A'O} = \dfrac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow [A, BD,A'] = \widehat{AOA'} \approx 54,74^o$

Ta có:

$\begin {cases} A'O \bot BD (cmt) \\ CO \bot BD(O\text{ là trung điểm của BD},\Delta CBD\text{ cân tại }C)\end {cases}$

$\Rightarrow [C, BD, A'] = \widehat{COA'}$

$\Rightarrow [C, BD, A'] = 180^o - \widehat{AOA'} = 180^o - 54,74^o \approx 125,26^o$