Để A là phân số tối giản thì ƯCLN ( 4n + 1; 6n + 1 ) = 1

Gọi d là ƯCLN ( 4n + 1; 6n + 1 )

Ta có:

( 4n + 1 ) $\vdots$ d

( 6n + 1 ) $\vdots$ d

`=>` [ ( 4n + 1 ) - ( 6n + 1 ) ] $\vdots$ d

`=>` [ 6 ( 4n + 1 ) - 4 ( 6n + 1 ) ] $\vdots$ d

`=>` [ ( 24n + 6 ) - ( 24n + 4 ) ] $\vdots$ d

`=>` [ 24n + 6 - 24n + 4 ] $\vdots$ d

`=>` [ ( 24n - 24n ) + ( 6 - 4 ) ] $\vdots$ d

`=>`                  2                      $\vdots$ d  hay d ∈ Ư ( 2 )

`=>`                  d ∈ { 1; 2 }

Ta thấy:

4n + 1 và 6n + 1 đều là số lẻ nên d $\ne$ 2

`=>` d = 1 

`=>` Với mọi số tự nhiên n thì A = $\dfrac{4n + 1}{6n + 1}$ luôn là phân số tối giản ( đpcm ).