Đáp án:

`1)`

`@` Ta có:

`hat(B_1)` là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung `BD`

`hat(E)` là góc nội tiếp `(O)` chắn cung `BD`

`=>hat(B_1)=hat(E)`

`@` Xét `ΔABD` và `ΔAEB` có:

`hat(BAE)` là góc chung

`hat(B_1)=hat(E)` (cmt)

`=>` `ΔABD` $\sim$ `ΔAEB` (g.g)

`=>(AB)/(AE)=(AD)/(AB)`

`=>AB^2 = AD . AE`

`2)` 

`@` Xét `(O)` có:

`ED` là dây cung (`O notin ED`)

`I là trung điểm DE`

`=>OI bot ED`

`@` Ta có: `hat(OBA)=hat(OCA)=90^o` (`AB, AC` là tiếp tuyến)

`@` Ta có:

+) Tứ giác `OBAC` nội tiếp (`hat(OBA)+hat(OCA)=90^o +90^o =180^o`)

`=>O,B,A,C` cùng thuộc một đường tròn (1)

+) Tứ giác `OIAB` nội tiếp (`hat(OBA)+hat(OIA)=90^o +90^o =180^o`)

`=>O,I,A,B` cùng thuộc một đường tròn (2)

`@` (1)(2) `=>O,B,A,C,I` cùng thuộc một đường tròn

`=>hat(B_2)=hat(I_1)` (cùng nhìn cạnh `AC` )

Mà `hat(B_2)=hat(P_1)` (vì `PD////AB`)

`=>hat(I_1)=hat(P_1)`

`=>` Tứ giác `CDPI` nội tiếp (cùng nhìn cạnh `CD`)

`=>hat(I_2)=hat(C_1)` (cùng nhìn cạnh `PD`)

Mà `hat(E)=hat(C_1)` (góc nội tiếp `(O)` cùng chắn cung `BD`)

`=>hat(I_2)=hat(E)`

Mà `hat(I_2)` và `hat(E)` là 2 góc đồng vị

`=>IP////KE`

`@` Xét `ΔDKE` có:

`IP////KE`

`I` là trung điểm `DE`

`=>IP` là đường trung bình hay `P` là trung điểm `KD`

`=>PD = PK`